Ecuacion de plasticidad.

Ecuacion de plasticidad.

La ley de Hooke usada para materiales elásticos reversibles y lineales es una ecuación constitutiva en que las tensiones se describen como el producto de componentes tensoriales del tensor de constantes elásticas por las componentes del tensor deformación. En dicha ley las tensiones son combinaciones lineales de las deformaciones, y no existe disipación de energía y por tanto irreversibilidad. Por esas razones no pueden describir la plasticidad. De hecho, la descripción matemática de la plasticidad debe incluir tanto la irreversibilidad o disipación de energía como la no linealidad de las expresiones que relacionan tensiones y deformaciones. Existe un buen número de modelos matemáticos de plasticidad con estas características. En todos los modelos de plasticidad la relación entre tensiones y deformaciones es del tipo:

(1)${\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}(\varepsilon _{kl}-\varepsilon _{kl}^{p})}$

Donde en la ecuación anterior y en las siguientes se usa el convenio de sumación de Einstein sobre índices repetidos, y donde además:

${\displaystyle C_{ijkl}\,}$, son las componentes del tensor de constantes elásticas del material.

${\displaystyle \varepsilon _{ij}\,}$, son las componentes del tensor deformación.

${\displaystyle \varepsilon _{ij}^{p}\,}$, son las componentes de la deformación plástica.

La diferencia básica entre los diversos modelos de plasticidad es la superficie de fluencia y por tanto la manera en que se computan las deformaciones plásticas, además de las posibles variaciones en la componente viscoplástica. De hecho, un modelo de plasticidad además de la ecuación (1) necesita especificar dos relaciones más:

• Especificación de la superficie de fluencia, que relaciona la tensión de fluencia ${\displaystyle \sigma _{y}\,}$ con el estado de tensión y de deformación plástica:

(2)${\displaystyle \phi (\sigma _{ij},\varepsilon _{ij}^{p})=\sigma _{y}-f_{2}(\sigma _{ij},\varepsilon _{ij}^{p})}$

• La ley de flujo plástico:

(3)${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{ij}^{p}={\begin{cases}f_{ij}(\sigma _{ij},\varepsilon _{ij}^{p})({\dot {f}}_{2}-{\dot {\sigma }}_{y})&\phi =0\\0&\phi <0\ \end{cases}},\qquad f_{ij}={\frac {\partial g_{p}}{\partial \sigma _{ij}}}}$

Donde

${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{ij}^{p}}$, representan la velocidad de deformación plástica.

${\displaystyle {\dot {\sigma }}_{y}}$, la derivada respecto al tiempo de la tensión de fluencia.

${\displaystyle f_{ij}(\cdot )}$, un conjunto de funciones prescritas dependientes del modelo que explicitan como crecen las deformaciones plásticas.

Si se derivan las ecuaciones (1) y (2) respecto al tiempo y se añade la ecuación (3) se tiene un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias respecto al tiempo, que junto con las correspondientes ecuaciones de contorno describiendo las cargas, los valores iniciales y otras restricciones forman un problema elastoplástico cuya solución es única en el caso lineal. En el caso no lineal no considerado aquí no se ha demostrado la unicidad.